Aplicação de modelos lineares de efeitos mistos para análise e previsão das vendas da empresa Doce Mel, 2019 - 2022
TRABALHO DE LICENCIATURA EM ESTATÍSTICA
2023-11-03
1.1 Contextualização
A analise e previsão de vendas é parte importante de qualquer organização para entender a participação de mercado (Melo and Alcântara 2011).
- Os dados de vendas típicos têm uma estrutura hierárquica. São longitudinais, como cortes transversais e séries temporais (Carvalho 2016).
Portanto, a analise e previsão de vendas é de extrema importância, pois possibilita:
Planear os processos de produção e distribuição das vendas;
Adequar modelos estatísticos que acomodam dados longitudinais.
A empresa Doce Mel actua colecta dados desde 2019, dedicando-se a compra e revenda de açúcar.
- Localizada na província de Maputo distrito da Manhiça;
Sendo a transformação dos sacos de 50 kg para 1 kg é feita pela empresa com auxilio dos seguintes matérias:
Plástico;
Balança e;
Uma maquina de selar o plástico.
- Durante o processo de empacotamento o grande foco é a redução da variabilidade dos pesos em kg das unidades,
- Garantindo a qualidade e satisfação do cliente em relação ao peso do produto.
- Produto vendido
- Localizada na província de Maputo distrito da Manhiça;
1.2 Definição do problema
- A empresa Doce Mel actua no mercado em quase todos os meses do ano, menos nos meses de Janeiro, Fevereiro, Março e Abril.
A empresa Doce Mel definiu uma estratégia que garantiu como fornecedor a empresa multinacional Maragra.
A multinacional Maragra vende o açúcar durante o período de campanha (período de produção do açúcar pela empresa Maragra).
Durante os meses escassez, a empresa Doce Mel fica sem açúcar para vender.
- Analisando o período de escassez de açúcar surge a seguinte questão:
- Qual é a quantidade ideal a comprar a cada interrupção de produção do fornecedor para que a empresa Doce Mel continue com as vendas?
- Analisando o período de escassez de açúcar surge a seguinte questão:
1.3 Objectivos
1.3.1 Objectivo geral
- Aplicar os modelos lineares de efeitos mistos para analisar e prever as vendas da empresa Doce Mel entre 2019 e 2022.
1.3.1.1 Objectivos específicos
Usar os gráficos de controle de qualidade \(\bar{x}\) e R para calcular o número médio de unidades vendidas que não satisfazem as especificações pré-estabelecidas;
Comparar as vendas semanais das lojas no início e ao longo do tempo;
Prever as vendas das lojas da empresa para os meses de escassez;
Construir um aplicativo web (Dashboard) para facilitar a visualização dos dados e auxiliar na tomada de decisão para empresa Doce Mel.
2.1 Breves conceitos sobre empresas
O sector das Micro Pequenas e Médias Empresas (MPME’s) tem um importante contributo para o desenvolvimento económico e social.
Nos países em desenvolvimento, estas empresas também são vistas como um instrumento importante para a erradicação da pobreza (Mulzer et al. 2019).
A definição de empresas é feita de acordo com o nível de desenvolvimento de um país e seus objectivos políticos.
Como mostram as tabelas abaixo:
Empresa por trabalhador. Pais Pequena empresa Media empresa Austrália 1\(\leq\) Trabalhadores\(\leq\) 9 20\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 200 México 1\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 30 20\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 100 Suiça 1\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 39 10 \(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 249 Ruanda 1\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 30 5 \(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 100 Tanzânia 5\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 49 50\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 99 Classificação das empresas segundo o volume de negócios em Moçambique. Classificação Número de trabalhadores Volume de negócios (Mt’s) Micro-Empresa 1\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 4 até 1200000 (V_N\(\leq\) 1200000 ) Pequena-Empresa 5\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 49 1200000 \(\leq\) V_N \(\leq\) 14700000 Media-Empresa 50\(\leq\) Trabalhadores \(\leq\) 99 14700000 \(\leq\) V_N \(\leq\) 29970000
2.1.1 Perfil das MPME’s em Moçambique
- A distribuição das MPME’s por sectores de actividade apontam que maior número de empresas encontra-se:
- No sector do comércio a grosso e a retalho, e em serviços como reparação de veículos automóveis e motociclos.
- A distribuição das MPME’s por sectores de actividade apontam que maior número de empresas encontra-se:
2.1.2 Controle estatístico do processo de qualidade
Garvin introduziu o conceito das oito dimensões da gestão da qualidade do produto.
Existem 8 dimensões da qualidade (Garvin 1987).
![]()
A mencionar
Desempenho;
Características;
Conformidade;
Conformidade com as especificações.
Durabilidade;
Serviço pós-venda e manutenção;
Estética;
Qualidade percebida.
Qualidade é adequação ao uso (Montgomery 2009).
Qualidade é inversamente proporcional a variabilidade (Montgomery 2009).
![]()
2.1.3 Características da qualidade
Características de qualidade é qualquer aspecto de um produto necessário para se conseguir a propriedade de ser adequado ao uso.
Tais características podem ser agrupadas em:
Físicas
Sensoriais
Temporal
E estas características podem ser agrupadas em dois grandes grupos a mencionar:
Atributos;
Variáveis.
- O valor mais alto permissível para uma característica de qualidade é chamado limite superior de especificação (LSE).
- E o menor valor permissível é chamado limite inferior de especificação (LIE).
2.1.3.1.1 Estimação da proporção de não conformidade
Com o objectivo de estimar a probabilidade de não conformidade com as especificações, é definido o Limite Inferior de Especificação (LIE)
E Limite Superior de Especificação (LSE), se a variável de controle segue distribuição normal com \(\mu=\overline{\bar{x}}\) tem-se que:
- \[\begin{eqnarray}
\hat{p}&=&P(x<LIE) + P(x>LSE) \\
&=& P (x<LIE)+[1-P(x<LSE)]\\
&=&\phi(\frac{LIE-\mu}{\hat{\sigma}}) + 1 - \phi(\frac{LSE-\mu}{\hat{\sigma}})
\end{eqnarray}\]
O valor \(\hat{p}\) estima a probabilidade de não conformidade com as especificações, com normalidade da variável de controle.
- Portanto, o número estimado de produtos não conformes é dado por \(\hat{p}\times N_T\), onde \(N_T\) é o total de unidades produzidas.
2.1.4 Modelos lineares generalizados
Com foco em contornar a suposição de normalidade (Nelder and Wedderburn 1972) introduziram os modelos lineares generalizados (MLG) em 1972 para acomodar não só variáveis resposta que seguem distribuição normal.
O MLG é dado pela equação abaixo, que é uma extensão do modelo linear clássico
- \[\begin{eqnarray}\label{1000} Y=X\beta +\varepsilon \end{eqnarray}\]
2.1.5 Modelos lineares mistos
Em estudos longitudinal, cada unidade experimental é observada pelo menos duas vezes, pode ocorrer uma dependência entre as respostas (Laird and Ware 1982).
O estudo longitudinal envolve a mensuração de duas ou mais observações da variável resposta em cada unidade amostral (Pinho, Nobre, and Singer 2015).
Um modelo misto geral pode ser formulado em dois estágios (Verbeke, Molenberghs, and Rizopoulos 2010), a mencionar:
\(1^\circ\) e \(2^\circ\) estágio
- \[ Y_i=Z_i\beta + \varepsilon_i \]
- \[ \beta_i= K_{i}\beta + b_i \]
- Combinando as duas fases obtém-se o seguinte modelo: \[ Y_i= X_{i}\beta + Z_{i}b_i + \varepsilon_i \]
2.1.5.1 Estruturas de matriz de co-variância
As co-variâncias entre as observações feitas na mesma unidade experimental pode ser modelado indirectamente através dos efeitos aleatórios (Singer, Nobre, and Rocha 2015).
A co-variância entre as observações no mesmo individuo podem ser modeladas pela combinação das matrizes de co-variância (Vonesh and Chinchilli 1997).
As estruturas são divididas em estrutura de co-variância de padrão homogéneo e heterogéneo (Singer, Nobre, and Rocha 2015), à mencionar:
Componentes de variância não correlacionado: \[\begin{equation} V=\begin{bmatrix} \sigma^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \sigma^2 & 0 &0\\ 0 &0 & \sigma^2 & 0\\ 0&0&0&\sigma^2 \end{bmatrix}=\sigma^2\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 &0\\ 0 &0 & 1 & 0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \end{equation}\]
Auto regressivo: \[\begin{equation} V=\sigma^2\begin{bmatrix} 1&p&p^2&p^3\\ p&1&p^2&p^3\\ p^2&p&1&p^3\\ p^3&p^2&p&1 \end{bmatrix} \end{equation}\]
Simetria composta: \[\begin{equation}\label{SCh} V=\sigma^2\begin{bmatrix} 1&p&p&p\\ p&1&p&p\\ p&p&1&p\\ p&p&p&1 \end{bmatrix} \end{equation}\]
Não correlacionado: \[\begin{equation} V=\begin{bmatrix} \sigma^2_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \sigma^2_2 & 0 &0\\ 0 &0 & \sigma^2_3 & 0\\ 0&0&0&\sigma^2_4 \end{bmatrix} \end{equation}\]
Não estruturada geral: \[\begin{equation}\label{NEHE} V=\begin{bmatrix} \sigma^2_{11}&\theta_{21}&\theta_{31}&\theta_{41}\\ \theta_{21}&\sigma^2_{22}&\theta_{32}&\theta_{42}\\ \theta_{31}&\theta_{32}&\sigma^2_{33}&\theta_{43}\\ \theta_{41}&\theta_{42}&\theta_{43}&\sigma^2_{44} \end{bmatrix} \end{equation}\]
Auto-regressivo de primeira ordem: \[\begin{equation} V=\sigma^2\begin{bmatrix} \sigma^2_1&p\sigma_1\sigma_2&p^{2}\sigma_1\sigma_3&p^{3}\sigma_1\sigma_4\\ p\sigma_2\sigma_1&\sigma^2_2&p^{2}\sigma_2\sigma_3&p^{3}\sigma_2\sigma_4\\ p^{2}\sigma_3\sigma_1&p\sigma_3\sigma_2&\sigma^2_3&p^{3}\sigma_3\sigma_4\\ p^{3}\sigma_4\sigma_1&p^{2}\sigma_4\sigma_2&p\sigma_4\sigma_3&\sigma^2_4 \end{bmatrix} \end{equation}\]
Simetria composta: \[\begin{equation} V=\begin{bmatrix} \sigma^2_1&p\sigma_1\sigma_2&p\sigma_1\sigma_3&p\sigma_1\sigma_4\\ p\sigma_2\sigma_1&\sigma^2_2&p\sigma_2\sigma_3&p\sigma_2\sigma_4\\ p\sigma_3\sigma_1&p\sigma_3\sigma_2&\sigma^2_3&p\sigma_3\sigma_4\\ p\sigma_4\sigma_1&p\sigma_4\sigma_2&p\sigma_4\sigma_3&\sigma^2_4 \end{bmatrix} \end{equation}\]
2.1.5.2 Estimação do modelo
- Para a estimação destacam dois métodos (West, Welch, and Galecki 2022):
- Método de máxima verosimilhança;
- Método de máxima verosimilhança restrita.
- Para a estimação destacam dois métodos (West, Welch, and Galecki 2022):
Os MLM’s baseiam-se na maximização da função de verosimilhança conjunta de Y e b, obtendo as estimativas dos efeitos fixos \(\beta\) e aleatórios \(b\) (Resende et al. 1996).
De modo geral dividem-se os MLM’s em dois grupos: os modelos de padrão de co-variâncias e os modelos de coeficientes aleatórios.
- \[\begin{equation}\label{ia} \large Y_{ij} =(\beta_0+b_{0i})+\beta_1t_{ij}+\varepsilon_{ij} \end{equation}\]
![]()
- \[\begin{equation}\label{lla} \large Y_{ij} =\beta_0+(\beta_{1}+b_{1i})t_{ij}+\varepsilon_{ij} \end{equation}\]
![]()
- \[\begin{equation}\label{IOO} Y_{ij} =(\beta_0+b_{0i})+(\beta_{1}+b_{1i})t_{ij}+\varepsilon_{ij} \end{equation}\]
![]()
2.1.5.3 Desenvolvimento do aplicativo web
Com os avanços das tecnologias de informação, as empresas geram e lidam com cada vez maiores quantidades de dados (Guimarães 2020).
Face ao desenvolvimento da tecnologia os Dashboard estão em ascensão, sendo usados por empresas mundiais com a Google e Space X (Resnick 2006).
- O R é uma linguagem de programação inicialmente criada para fins estatísticos mas que
Com o crescimento de sua popularidade, aumentou o seu escopo, sendo hoje uma das melhores ferramentas existentes para automação de tarefas
- Através dos pacotes
R MarKdown,Flexdashboard,ShinyeQuartoé possível:
- Através dos pacotes
Compilar documentos com formatos de saída, como PDF, HTML e Word;
Criar dashboards com
Flexdasboard, Shiny e Shiny + Flexdasboard;Criar Blogs e sites;
Escrever artigos científicos ou livros;
Criar apresentações em Power Point e HTML;
Criar mapas interactivos.
- O R é uma linguagem de programação inicialmente criada para fins estatísticos mas que
